立命館大出題ミスの解説 - 宇宙の始まり、その確率。

立命館大の2月2日の入試で出題ミスがあったようです．確率の問題で気になったので，どういった出題ミスであったか解説します．

といっても，出題ミスの箇所に確率はまったく関係ないです笑

ritsnet.ritsumei.jp

news.yahoo.co.jp

あまり話題になっていないですがなかなかひどい出題ミスですね。
立命館大学の数学で出題ミスがあったようです。 pic.twitter.com/qO2FNKgOjG
— ナカハシ (@tan_popono_tane) 2021年2月8日

該当する問題は次のとおりです．

大問Ⅳ

男子 $n$ 人と女子 $(m-n)$ 人からなる $m$ 人のクラスで，くじ引きで委員を選ぶとする．ただし，クラスの人数 $m$ は $4$ 以上とする．

(中略)

(3)毎週 $3$ 人の委員を選ぶとき， $k$ 週目までの委員に選ばれた男子の人数の累計が奇数となる確率を $Q_k$ とする．ただし，異なる週であれば同じ人が何度でも委員に選ばれることができ，例えば，同じ男子が $5$ 回選ばれるなら $5$ 人分として数える．このとき， $Q_1$ は $m,n$ のみを用いた分数式として，

$\displaystyle \frac{n\left\{\fbox{キ}\right\}}{m(m-1)(m-2)}$

と表すことができ， $Q_{k+1}$ は $Q_k$ と $Q_1$ を用いて， $Q_{k+1}=\fbox{ク}$ と表すことができる． $Q_k$ を用いず $Q_1$ と $k$ を用いて表すと， $Q_{k+1}=\fbox{ケ}$ となる．

$k$ の値によらず $Q_k$ の値が一定の正の値になるのであれば， $\displaystyle \frac{m}{n}$ の値は $\fbox{コ}$ である．

このうち，ミスがあるとされたのは $\fbox{コ}$ です．順番に見ていきましょう．

大問Ⅳ(3)解説

$1$ 週目の委員に選ばれた男子の人数が奇数になるのは，｢男女女｣または｢男男男｣のいずれかの組み合わせで選ばれたときであるから，

$\displaystyle Q_1 = \frac{{}_n\mathrm{C}_1 \cdot {}_{m-n}\mathrm{C}_2 + {}_n\mathrm{C}_3}{{}_m\mathrm{C}_3} \\ = \displaystyle \frac{n \left\{ 3(m-n)(m-n-1)+(n-1)(n-2) \right\} }{m(m-1)(m-2)}$

である． $Q_{k+1}$ は，｢ $k$ 週目まで男子の人数が奇数で， $k+1$ 週目の男子の人数が偶数｣または｢ $k$ 週目まで男子の人数が偶数で， $k+1$ 週目の男子の人数が奇数｣である事象の確率である．これらは排反であることと，各週の男子の人数は独立であって，奇数になる確率は $Q_1$ に等しいことから，

$Q_{k+1} = Q_k(1-Q_1) + (1- Q_k)Q_1 \\ \displaystyle \Leftrightarrow \left(Q_{k+1} - \frac{1}{2} \right) =(-2Q_1+1)\left(Q_k - \frac{1}{2} \right)$

となる．よって，

$\displaystyle Q_k =(-2Q_1+1)^{k-1}\left(Q_1 - \frac{1}{2} \right) +\frac{1}{2}$

である．

$k$ の値によらず $Q_k$ の値が一定の正の値になるとき，

$-2Q_1+1 = 0 \Leftrightarrow \displaystyle Q_1 = \frac{1}{2}$

または，

$\displaystyle Q_1 - \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow \displaystyle Q_1 = \frac{1}{2}$

を満たす( $-2Q_1+1 = 1$ のときも $Q_k$ の値は $0$ で一定となるが，正の値でないので不適である．)

よって， $\displaystyle Q_1 = \frac{1}{2}$ を満たす $m,n$ の関係式を求めと，

$\displaystyle Q_1 = \frac{1}{2} \\ \Leftrightarrow 8n^3-12mn^2+(6m^2-6m+4)n-(m^3-3m^2+2m)=0 \\ \Leftrightarrow (2n-m)\left\{ 4n^2-4mn+(m^2-3m+2) \right\} = 0 \\ \therefore \displaystyle n=\frac{1}{2} m, \frac{m \pm \sqrt{3m-2}}{2}$

となる．

ここまでが，与えられた条件で解ける内容です．大学側は， $\displaystyle \frac{m}{n} =\fbox{コ}$ の値として， $\fbox{コ} = 2$ を想定していたのだろうと考えられます．一方で， $(m,n) = (6,1)$ といった組は $\displaystyle n = \frac{m - \sqrt{3m-2}}{2}$ を満たし，( $(m,n)$ についての条件がない以上，) $\fbox{コ} = 6$ といった答も正解にせざるを得ないという判断だと思われます．

以上が立命館大の出題ミスの解説でした．(1),(2)も解いてみましたが，確率だけでなく整数の性質も気にしなければならない良い問題だったのが残念ですね．