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東工大数学系 2021年度院試解説(午前の部)

院試東工大

昨年受験した東工大数学系の院試の問題が公開されました．

理学院数学系数学コース(大学院課程)

私が当日実際に解いたときの参考とともに，解答を残したいと思います．以前のブログで，受験直後の感想を書いています．

mathactuary.hatenablog.com

※以下の内容の正確性は保証しません．

総括

例年では

午前必答5問 150分
午後選択2問 120分

でしたが，今回はオンライン(zoom)で

午前必答3問 90分 (1問30分で区切って3回)
午後選択2問 90分

となりました．特に午後は1問あたりの時間が減り少し困りました．

午前は例年通り線形代数･位相･解析の問題が出題されました．難易度は例年より下がっています．

大問1

線形代数の問題です．書く量が多くて時間ギリギリでした．難しくはありません．

(1)

まず， $e^x, xe^x, e^{2x}$ は $V$ 上で一次独立である．これは認めてもいいと思うが， $ae^x+bxe^x+ce^{2x}=0$ とおいて $x$ に適当な値 $x=0,1,2$ を代入すれば， $a,b,c=0$ がわかる．次に $f(x)=ae^x+bxe^x+ce^{2x}$ とおく．これより， $(D_0f)(x),(D_1f)(x),(D_2f)(x)$ を具体的に書くことが出来る．そこで $p(D_0f)(x)+q(D_1f)(x)+r(D_2f)(x)=0$ とおくと， $e^x, xe^x, e^{2x}$ についての式が得られるが，これらは一次独立なので $e^x, xe^x, e^{2x}$ の係数は $0$ になる．これより $p,q,r=0$ が得られるので， $D_0,D_1,D_2$ は一次独立である．

(2)

引き続き $f(x)=ae^x+bxe^x+ce^{2x}$ とする．これより $(D_3f)(x)$ を具体的に書くことが出来る．ここで $p(D_0f)(x)+q(D_1f)(x)+r(D_2f)(x)=(D_3f)(x)$ とおくと，(1)と同様に計算して

$p=2, q=-5, r=4$

を得る．これより $D_n (n \geq 3)$ は $D_0,D_1,D_2$ の線形結合で書けるので，(1)の結果も合わせて次元は $3$ である．

(3)

引き続き $f(x)=ae^x+bxe^x+ce^{2x}$ とする．すると，

$(D_nf)(x)=(a+nb)e^x+bxe^x+2^nce^{2x}$

となる(これは数学的帰納法で簡単にわかる)．これを与えられた方程式に代入して，

$\displaystyle a=\frac{1}{2}-\frac{1}{4} n, b=\frac{1}{2}, c=\frac{1}{2^n+1}$

を得るので，

$\displaystyle f(x)=\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4} n \right) e^x+ \frac{1}{2} xe^x+ \frac{1}{2^n+1} e^{2x}$

となる．

大問2

コンパクト性と有限交差性に関する命題です．調べたらすぐに出てくるので，(2)(3)は割愛します．

(1)

$\{[n, \infty)\}_{n \in \mathbb{N}}$ は $\mathbb{R}$ の閉集合であり，(＊)を満たす．

大問3

形から見るに， $x=r\cos\theta, y=r \sin\theta$ とおけば良さそうです．

(1)

$a=b=1$ とすると， $r \gt 0$ のとき

$f(x,y)=\sin\theta\cos\theta$

であり，例えば $\displaystyle \theta=\frac{1}{4}\pi$ にとって $r \to 0$ とすると， $\displaystyle f(x,y) \to \frac{1}{2}$ なので連続でない．

(2)

$a=b=2$ とすると， $r \to 0$ のとき

$\displaystyle \frac{f(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}}=r\sin^2\theta\cos^2\theta \to 0$

である．よって，

$f(x,y) = f(0,0)+0 \cdot x+0 \cdot y+f(x,y)$

と書けるので，全微分可能である．

(3)

$a=2, b=1$ とすると， $r \gt 0$ のとき

$f(x,y)=r\sin\theta\cos^2\theta$

であり， $r \to 0$ のとき $f(x,y) \to 0$ であるので連続である．また，

$\displaystyle f_x(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h,0)-f(0,0)}{h-0} =\lim_{h \to 0} \frac{0-0}{h-0} = 0$

である．同様に $f_y(0,0) = 0$ となる．ここで全微分可能であると仮定し，

$g(x,y) := f(x,y) - f(0,0) - 0 \cdot x - 0 \cdot y = f(x,y)$

とおけば，全微分可能であることより， $\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{f(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}} = 0$ となる．しかし，これは(1)と同様の理由で矛盾することがわかる．よって全微分可能ではない．